応力の座標変換

応力の座標変換

以下のような平面応力状態において、x軸と法線が角度θをなすような斜面上の応力成分\(\sigma\)と\(\tau\)の式を、x及びy方向の力の釣り合いから導く。

 

 

 

奥行きを\(dz\)とする。
\(\sigma dsdz\sin\theta ~=~ \sigma_{x} dydz + \tau_{xy} dxdz + \tau dsdz \sin\theta\)
\(式全体を\frac{1}{dsdz}\)して、
\(\sigma \sin\theta ~=~ \sigma_{x} \frac{dy}{ds} + \tau_{xy} \frac{dx}{ds} + \tau \sin\theta\)
\(\frac{dy}{ds}=\cos\theta, \frac{dx}{ds}=\sin\theta, より、\)
\(\sigma \sin\theta - \tau \sin\theta ~=~ \sigma_{x} \cos\theta + \tau_{xy} \sin\theta \tag{1}\)

\(\sigma dsdz \sin\theta + \tau dsdz \cos\theta ~=~ \tau_{xy} dydz + \sigma_{y} dxdz\)
\(式全体を\frac{1}{dsdz}\)して、
\(\sigma\sin\theta + \tau\cos\theta ~=~ \tau_{xy} \frac{dy}{ds} + \sigma_{y} \frac{dx}{ds}\)
\(\frac{dy}{ds}=\cos\theta, \frac{dx}{ds}=\sin\theta, より、\)
\(\sigma\sin\theta + \tau\cos\theta ~=~ \tau_{xy} \cos\theta + \sigma_{y} \sin\theta \tag{2}\)

\((1)×\cos\theta + (2)×\sin\theta~~より、\)
\(\sigma~=~\sigma_{x}\cos^2\theta + \sigma_{y}\sin^2\theta + 2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta\)
一般的には、2倍角の公式を用いて、
\(\sigma ~=~ \frac{1}{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y}) + \frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta\)

\(-(1)×\sin\theta + (2)×\cos\theta~~より、\)
\(\tau ~=~ -(\sigma_{x} - \sigma_{y})\sin\theta\cos\theta + \tau_{xy}(\cos^2 \theta - \sin^2\theta)\)
\(~=~-\frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\sin 2 \theta + \tau_{xy}\cos 2\theta\)

モールの応力円

 下記のようなxy面内に垂直応力が\(\sigma_{x}=100[MPa]、\sigma_{y}=[100MPa]、剪断力が\tau_{xy}=100[MPa]\)のときのモールの応力円を書き、主応力、主剪断応力及びその方向を導く。

 

 

 

主応力： \(200MPa\)
主応力方向：\(2\theta_{n}=90°\)

主剪断力：\(100MPa\)
主剪断力方向：\(0°\)